求一元函数极限的若干方法研究

求一元函数极限的若干方法研究摘要：极限是高等数学的基础概念，也是微积分和数学分析的基本概念之一，对于函数极限来说，高等数学多数概念都是建立在其之上或与其密切相关，本文主要探讨了与函数极限相关的若干问题，对其定义与性质加以阐释，同时对求函数极限存在性这一命题进行了探讨，并对求解极限进行了较为全面的难点阐释与技巧分析，并说明了各种方法的优势与局限性.关键词：函数极限；洛必达法则；两个重要极限；泰勒公式Study on some methods of finding the limit of univariatefunctionsJiahui Weng School of Mathematics and StatisticsAbstract:Limits are a fundamental concept of higher mathematics andone of the basic concepts of calculus and mathematical analysis.Thedifficulties and techniques of solving the limits are explained and theadvantages and limitations of various methods are illustrated.Key words:Limit of functions;L'Hospital rule;Two important limits;Taylor's formula目录摘要.1Abstract....21.绪论（引论）32.函数极限的定义与性质42.1函数极限的定义...2.2函数极限的性质...42.3.极限的作用...53.如何证明函数极限的存在性74.函数极限的若干求法....114.1利用定义求解.....124.2利用极限的四则运算法则124.3利用无穷小与无穷大的关系求解124.4利用两边夹定理求极限...134.5利用两个重要极限求解..144.6利用等价无穷小求极限.144.7利用洛必达法则求解154.8利用泰勒公式求极限164.9利用导数的定义求极限174.10利用中值定理求极限184.11常见错误.…185.结论..19参考文献201.绪论（引论)极限的概念与思想源远流长，公元前三世纪阿基米德是古代伟大的数学家、科学家，他利用了“逼近法”较为成功地算出球面积、球体积、抛物线和椭圆的面积：而在更早之前的公元前五世纪，中国伟大的思想家庄周所撰写的《庄子》“天下篇”中记载“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.这两个人类历史上的典故就有了极限的概念，以及极限思想的运用.这些早期的极限思想非常粗糙与简陋，但是之后极限思想的根基。通常来说极限思想，本意上就是指的一种数学思想，在其中对于问题的解析过程依托的是极限这一概念，用该思想解题流程一般是针对被考察未知量，基于其具体条件进行相关变量的设想，明确当后者通过无限过程的结果就是前者，之后就是通过极限极限来印证前面的确定过程并得到结果。在高等数学中的主要研究对象是函数，而在高等数学中研究函数的基础且重要的方法就是函数的极限.所以从方法论来说，区别高等数学和初等数学的重要标志是极限，极限是数学分析与微积分的基本概念之一，用于描述变量的一定变化过程中，逐渐趋向稳定的变化，而变量所趋向的值，就是我们所说的极限值.高等数学中全部的概念都基本离不开函数极限.极限的概念是高等数学基础概念，极限的理论是高等数学的重要理论.在现有的高等数学和数学分析课本中，其中大部分的基本概念包括连续、微分和积分，都是建立在极限概念的理论基础上的.所以掌握函数极限的计算方法及技巧对学好高等数学和数学分析起着十分重要的作用四.（注：论文中所有参考文献的引用显示有问题，可以根据开题中已修改的更正）至今已有许多学者研究了极限，如邢福弟在《极限理论的建立及其意义》里写道，微积分的发展至少有一部分是建立在极限理论基础之上，同时也是分析的诸多流派与分支的重要前提，并让分析学真正意义上确立，该理论的极具魅力与创造性的思想方法促进了“分析学的发展”四.还有其他学者研究了极限思想与辨证哲学的关系，强调二者的高度相关性，认为前者存在于唯物辩证哲学的所有细节与全部范畴，对已知与未知进行了深层次的反映，对常量与变量进行了广泛m张春红.极限在函数连续性中的地位和作用[J】.课程教育研究，2016,5(13)：128-129.四邢福弟.极限理论的建立及其意义[刀].海南大学学报（自然科学版），1996,14(01)：80-85。性的揭示，同时还涉及到有限与无限、“肯定与否定的对立统一”.张乾丰等人探讨了数学极限思想在高中化学教学中的应用，认为要在该阶段化学教学中充分让学生领略到化学的灵活与实用，需要充分发挥极限思想的效用.马莹研究了用函数的左右极限来寻找打破函数连续性的间断点，不但使函数间断性变得更容易理解，而且对间断点类型的判别更简单数学分析现在已经成为了数学系学生的必修课程，而其他理工科类也必须学习到一定的数学分析的知识，可以说数学分析是数学基础分支中应用最广的.极限的思想是无限逼近，通过用有限来定义无限的思想，贯穿了整个数学分析，可以说数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科.总而言之，极限是高等数学中极其重要的一个概念，它是第二次数学危机的产物，是几千年人类思想的结晶，2.函数极限的定义与性质2.1函数极限的定义(1)x趋于∞时函数的极限定义1设f为定义在[a,+o)上的函数，A为定数.若对任意的ε>0，存在正数M(M≥a),使得当x>M时有|f(x)-A0，存在正数6(6<8)，使得当0<|x-b<6时有f(x)-A<ε，则称函数f当x趋于b周张晓辉.极限理论的辩证思想分析[J刀.企业导报，2016,17(03)：196+82.团张乾丰，刘玉荣，来俊军.数学极限思想在高中化学教学中的应用[J].化学教学，2021,43(05)：85-90，马莹.探讨函数间断点的方法[J门.考试周刊，2015,9(77)：57-58.